解決{c}{y=-3x+1}{y=x-7} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y+3x=1

考慮第一個方程式。新增 3x 至兩側。

y-x=-7

考慮第二個方程式。從兩邊減去 x。

y+3x=1,y-x=-7

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y+3x=1

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=-3x+1

從方程式兩邊減去 3x。

-3x+1-x=-7

在另一個方程式 y-x=-7 中以 -3x+1 代入 y在方程式。

-4x+1=-7

將 -3x 加到 -x。

-4x=-8

從方程式兩邊減去 1。

x=2

將兩邊同時除以 -4。

y=-3\times 2+1

在 y=-3x+1 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-6+1

-3 乘上 2。

y=-5

將 1 加到 -6。

y=-5,x=2

現已成功解出系統。

y+3x=1

考慮第一個方程式。新增 3x 至兩側。

y-x=-7

考慮第二個方程式。從兩邊減去 x。

y+3x=1,y-x=-7

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)

計算。

y=-5,x=2

解出矩陣元素 y 和 x。

y+3x=1

考慮第一個方程式。新增 3x 至兩側。

y-x=-7

考慮第二個方程式。從兩邊減去 x。

y+3x=1,y-x=-7

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

y-y+3x+x=1+7