解決{c}{x-3y=6}{-8x-y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3y=6$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$x=3y+6$$

在另一個方程式 -8x-y=6 中以 6+3y 代入 x在方程式。

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

-8 乘上 6+3y。

$$-24y-48-y=6$$

將 -24y 加到 -y。

$$-25y-48=6$$

將 48 加到方程式的兩邊。

$$-25y=54$$

將兩邊同時除以 -25。

$$y=-\frac{54}{25}$$

在 x=3y+6 中以 -\frac{54}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

3 乘上 -\frac{54}{25}。

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

將 6 加到 -\frac{162}{25}。

$$x=-\frac{12}{25}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

讓 x 和 -8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

化簡。

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+24y=-48 減去 -8x-y=6。

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y+y=-48-6$$

將 24y 加到 y。

$$25y=-48-6$$

將 -48 加到 -6。

$$25y=-54$$

將兩邊同時除以 25。

$$y=-\frac{54}{25}$$

在 -8x-y=6 中以 -\frac{54}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{54}{25}。

$$-8x=\frac{96}{25}$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{12}{25}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$