Solve {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=37$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=3,4x-3y=37$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 4x-3y=37 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

4 乘上 y+3。

$$4y+12-3y=37$$

將 4y 加到 -3y。

$$y+12=37$$

從方程式兩邊減去 12。

$$y=25$$

在 x=y+3 中以 25 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=25+3$$

將 3 加到 25。

$$x=28$$

現已成功解出系統。

$$x=28,y=25$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=37$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=3,4x-3y=37$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=28,y=25$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$4x-3y=37$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=3,4x-3y=37$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

化簡。

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-4y=12 減去 4x-3y=37。

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+3y=12-37$$

將 -4y 加到 3y。

$$-y=12-37$$

將 12 加到 -37。

$$-y=-25$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=25$$

在 4x-3y=37 中以 25 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3\times 25=37$$

-3 乘上 25。

$$4x-75=37$$

將 75 加到方程式的兩邊。

$$4x=112$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=28$$

現已成功解出系統。

$$x=28,y=25$$