解決{c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=53$$

$$y=17$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$x-5=4y-20$$

從兩邊減去 4y。

$$x-5-4y=-20$$

新增 5 至兩側。

$$x-4y=-20+5$$

將 -20 與 5 相加可以得到 -15。

$$x-4y=-15$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3y=2$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$x=3y+2$$

在另一個方程式 x-4y=-15 中以 3y+2 代入 x在方程式。

$$3y+2-4y=-15$$

將 3y 加到 -4y。

$$-y+2=-15$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-y=-17$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=17$$

在 x=3y+2 中以 17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times 17+2$$

3 乘上 17。

$$x=51+2$$

將 2 加到 51。

$$x=53$$

現已成功解出系統。

$$x=53,y=17$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$x-5=4y-20$$

從兩邊減去 4y。

$$x-5-4y=-20$$

新增 5 至兩側。

$$x-4y=-20+5$$

將 -20 與 5 相加可以得到 -15。

$$x-4y=-15$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=53,y=17$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。

$$x-3y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-5 時使用乘法分配律。

$$x-5=4y-20$$

從兩邊減去 4y。

$$x-5-4y=-20$$

新增 5 至兩側。

$$x-4y=-20+5$$

將 -20 與 5 相加可以得到 -15。

$$x-4y=-15$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-3y=2 減去 x-4y=-15。

$$x-x-3y+4y=2+15$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y+4y=2+15$$

將 -3y 加到 4y。

$$y=2+15$$

將 2 加到 15。

$$y=17$$

在 x-4y=-15 中以 17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-4\times 17=-15$$

-4 乘上 17。

$$x-68=-15$$

將 68 加到方程式的兩邊。

$$x=53$$

現已成功解出系統。

$$x=53,y=17$$