Solve {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=9,4x+5y=39$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=9$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+9$$

在另一個方程式 4x+5y=39 中以 -y+9 代入 x在方程式。

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

4 乘上 -y+9。

$$-4y+36+5y=39$$

將 -4y 加到 5y。

$$y+36=39$$

從方程式兩邊減去 36。

$$y=3$$

在 x=-y+9 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+9$$

將 9 加到 -3。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=9,4x+5y=39$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=9,4x+5y=39$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

化簡。

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+4y=36 減去 4x+5y=39。

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-5y=36-39$$

將 4y 加到 -5y。

$$-y=36-39$$

將 36 加到 -39。

$$-y=-3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=3$$

在 4x+5y=39 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+5\times 3=39$$

5 乘上 3。

$$4x+15=39$$

從方程式兩邊減去 15。

$$4x=24$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=3$$