解決{c}{x+y=89}{2x+y=23y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 23y。

$$2x+y-23y=0$$

合併 y 和 -23y 以取得 -22y。

$$2x-22y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=89,2x-22y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=89$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+89$$

在另一個方程式 2x-22y=0 中以 -y+89 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

2 乘上 -y+89。

$$-2y+178-22y=0$$

將 -2y 加到 -22y。

$$-24y+178=0$$

從方程式兩邊減去 178。

$$-24y=-178$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=\frac{89}{12}$$

在 x=-y+89 中以 \frac{89}{12} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

將 89 加到 -\frac{89}{12}。

$$x=\frac{979}{12}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 23y。

$$2x+y-23y=0$$

合併 y 和 -23y 以取得 -22y。

$$2x-22y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=89,2x-22y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 23y。

$$2x+y-23y=0$$

合併 y 和 -23y 以取得 -22y。

$$2x-22y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=89,2x-22y=0$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

化簡。

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+2y=178 減去 2x-22y=0。

$$2x-2x+2y+22y=178$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+22y=178$$

將 2y 加到 22y。

$$24y=178$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=\frac{89}{12}$$

在 2x-22y=0 中以 \frac{89}{12} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

-22 乘上 \frac{89}{12}。

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

將 \frac{979}{6} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{979}{6}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{979}{12}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$