解決{c}{x+y=8a}{4x+8y=60} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=8a$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+8a$$

在另一個方程式 4x+8y=60 中以 -y+8a 代入 x在方程式。

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

4 乘上 -y+8a。

$$-4y+32a+8y=60$$

將 -4y 加到 8y。

$$4y+32a=60$$

從方程式兩邊減去 32a。

$$4y=60-32a$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=15-8a$$

在 x=-y+8a 中以 15-8a 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

-1 乘上 15-8a。

$$x=8a-15+8a$$

將 8a 加到 -15+8a。

$$x=16a-15$$

現已成功解出系統。

$$x=16a-15,y=15-8a$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=16a-15,y=15-8a$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

化簡。

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+4y=32a 減去 4x+8y=60。

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-8y=32a-60$$

將 4y 加到 -8y。

$$-4y=32a-60$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=15-8a$$

在 4x+8y=60 中以 15-8a 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

8 乘上 15-8a。

$$4x+120-64a=60$$

從方程式兩邊減去 120-64a。

$$4x=64a-60$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=16a-15$$

現已成功解出系統。

$$x=16a-15,y=15-8a$$