解決{c}{x+y=8}{40x+55y=410} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=8,40x+55y=410$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=8$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+8$$

在另一個方程式 40x+55y=410 中以 -y+8 代入 x在方程式。

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

40 乘上 -y+8。

$$-40y+320+55y=410$$

將 -40y 加到 55y。

$$15y+320=410$$

從方程式兩邊減去 320。

$$15y=90$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=6$$

在 x=-y+8 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+8$$

將 8 加到 -6。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=8,40x+55y=410$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=8,40x+55y=410$$

讓 x 和 40x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 40，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

化簡。

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 40x+40y=320 減去 40x+55y=410。

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

將 40x 加到 -40x。 40x 和 -40x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40y-55y=320-410$$

將 40y 加到 -55y。

$$-15y=320-410$$

將 320 加到 -410。

$$-15y=-90$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=6$$

在 40x+55y=410 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$40x+55\times 6=410$$

55 乘上 6。

$$40x+330=410$$

從方程式兩邊減去 330。

$$40x=80$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=6$$