解決{c}{x+y=64}{12x-26y=19} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x - 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{1683}{38} = 44\frac{11}{38} \approx 44.289473684$$

$$y = \frac{749}{38} = 19\frac{27}{38} \approx 19.710526316$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=64,12x-26y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=64$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+64$$

在另一個方程式 12x-26y=19 中以 -y+64 代入 x在方程式。

$$12\left(-y+64\right)-26y=19$$

12 乘上 -y+64。

$$-12y+768-26y=19$$

將 -12y 加到 -26y。

$$-38y+768=19$$

從方程式兩邊減去 768。

$$-38y=-749$$

將兩邊同時除以 -38。

$$y=\frac{749}{38}$$

在 x=-y+64 中以 \frac{749}{38} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{749}{38}+64$$

將 64 加到 -\frac{749}{38}。

$$x=\frac{1683}{38}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=64,12x-26y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{26}{-26-12}&-\frac{1}{-26-12}\\-\frac{12}{-26-12}&\frac{1}{-26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&\frac{1}{38}\\\frac{6}{19}&-\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64+\frac{1}{38}\times 19\\\frac{6}{19}\times 64-\frac{1}{38}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1683}{38}\\\frac{749}{38}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=64,12x-26y=19$$

讓 x 和 12x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$12x+12y=12\times 64,12x-26y=19$$

化簡。

$$12x+12y=768,12x-26y=19$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+12y=768 減去 12x-26y=19。

$$12x-12x+12y+26y=768-19$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+26y=768-19$$

將 12y 加到 26y。

$$38y=768-19$$

將 768 加到 -19。

$$38y=749$$

將兩邊同時除以 38。

$$y=\frac{749}{38}$$

在 12x-26y=19 中以 \frac{749}{38} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$12x-26\times \frac{749}{38}=19$$

-26 乘上 \frac{749}{38}。

$$12x-\frac{9737}{19}=19$$

將 \frac{9737}{19} 加到方程式的兩邊。

$$12x=\frac{10098}{19}$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1683}{38}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$