解決{c}{x+y=500}{50x+80y=28000} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=400$$

$$y=100$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=500$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+500$$

在另一個方程式 50x+80y=28000 中以 -y+500 代入 x在方程式。

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

50 乘上 -y+500。

$$-50y+25000+80y=28000$$

將 -50y 加到 80y。

$$30y+25000=28000$$

從方程式兩邊減去 25000。

$$30y=3000$$

將兩邊同時除以 30。

$$y=100$$

在 x=-y+500 中以 100 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-100+500$$

將 500 加到 -100。

$$x=400$$

現已成功解出系統。

$$x=400,y=100$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=400,y=100$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

讓 x 和 50x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 50，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

化簡。

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+50y=25000 減去 50x+80y=28000。

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$50y-80y=25000-28000$$

將 50y 加到 -80y。

$$-30y=25000-28000$$

將 25000 加到 -28000。

$$-30y=-3000$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=100$$

在 50x+80y=28000 中以 100 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$50x+80\times 100=28000$$

80 乘上 100。

$$50x+8000=28000$$

從方程式兩邊減去 8000。

$$50x=20000$$

將兩邊同時除以 50。

$$x=400$$

現已成功解出系統。

$$x=400,y=100$$