解決{c}{x+y=50}{300x+200y=11500} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=15$$

$$y=35$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=50$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+50$$

在另一個方程式 300x+200y=11500 中以 -y+50 代入 x在方程式。

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

300 乘上 -y+50。

$$-300y+15000+200y=11500$$

將 -300y 加到 200y。

$$-100y+15000=11500$$

從方程式兩邊減去 15000。

$$-100y=-3500$$

將兩邊同時除以 -100。

$$y=35$$

在 x=-y+50 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-35+50$$

將 50 加到 -35。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=35$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=15,y=35$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

讓 x 和 300x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 300，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

化簡。

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 300x+300y=15000 減去 300x+200y=11500。

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

將 300x 加到 -300x。 300x 和 -300x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$300y-200y=15000-11500$$

將 300y 加到 -200y。

$$100y=15000-11500$$

將 15000 加到 -11500。

$$100y=3500$$

將兩邊同時除以 100。

$$y=35$$

在 300x+200y=11500 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$300x+200\times 35=11500$$

200 乘上 35。

$$300x+7000=11500$$

從方程式兩邊減去 7000。

$$300x=4500$$

將兩邊同時除以 300。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=35$$