解決{c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=17$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=27$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+27$$

在另一個方程式 0.25x+0.05y=3.35 中以 -y+27 代入 x在方程式。

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

0.25 乘上 -y+27。

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

將 -\frac{y}{4} 加到 \frac{y}{20}。

$$-0.2y+6.75=3.35$$

從方程式兩邊減去 6.75。

$$-0.2y=-3.4$$

將兩邊同時乘上 -5。

$$y=17$$

在 x=-y+27 中以 17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-17+27$$

將 27 加到 -17。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=17$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=17$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

讓 x 和 \frac{x}{4} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.25，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

化簡。

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.25x+0.25y=6.75 減去 0.25x+0.05y=3.35。

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

將 \frac{x}{4} 加到 -\frac{x}{4}。 \frac{x}{4} 和 -\frac{x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

將 \frac{y}{4} 加到 -\frac{y}{20}。

$$0.2y=6.75-3.35$$

將 6.75 與 -3.35 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$0.2y=3.4$$

將兩邊同時乘上 5。

$$y=17$$

在 0.25x+0.05y=3.35 中以 17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

0.05 乘上 17。

$$0.25x+0.85=3.35$$

從方程式兩邊減去 0.85。

$$0.25x=2.5$$

將兩邊同時乘上 4。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=17$$