解 x、y
x=11.5
y=9.5
圖表
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x+y=21,0.25x+0.05y=3.35
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=21
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+21
從方程式兩邊減去 y。
0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35
在另一個方程式 0.25x+0.05y=3.35 中以 -y+21 代入 x在方程式。
-0.25y+5.25+0.05y=3.35
0.25 乘上 -y+21。
-0.2y+5.25=3.35
將 -\frac{y}{4} 加到 \frac{y}{20}。
-0.2y=-1.9
從方程式兩邊減去 5.25。
y=9.5
將兩邊同時乘上 -5。
x=-9.5+21
在 x=-y+21 中以 9.5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=11.5
將 21 加到 -9.5。
x=11.5,y=9.5
現已成功解出系統。
x+y=21,0.25x+0.05y=3.35
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)
計算。
x=11.5,y=9.5
解出矩陣元素 x 和 y。
x+y=21,0.25x+0.05y=3.35
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35
讓 x 和 \frac{x}{4} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.25，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35
化簡。
0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.25x+0.25y=5.25 減去 0.25x+0.05y=3.35。
0.25y-0.05y=5.25-3.35
將 \frac{x}{4} 加到 -\frac{x}{4}。 \frac{x}{4} 和 -\frac{x}{4} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
0.2y=5.25-3.35
將 \frac{y}{4} 加到 -\frac{y}{20}。
0.2y=1.9
將 5.25 與 -3.35 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=9.5
將兩邊同時乘上 5。
0.25x+0.05\times 9.5=3.35
在 0.25x+0.05y=3.35 中以 9.5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
0.25x+0.475=3.35
0.05 乘上 9.5 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
0.25x=2.875
從方程式兩邊減去 0.475。
x=11.5
將兩邊同時乘上 4。
x=11.5,y=9.5
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}