Solve {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=14,4x-y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=14$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+14$$

在另一個方程式 4x-y=4 中以 -3y+14 代入 x在方程式。

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

4 乘上 -3y+14。

$$-12y+56-y=4$$

將 -12y 加到 -y。

$$-13y+56=4$$

從方程式兩邊減去 56。

$$-13y=-52$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=4$$

在 x=-3y+14 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\times 4+14$$

-3 乘上 4。

$$x=-12+14$$

將 14 加到 -12。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=14,4x-y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=14,4x-y=4$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

化簡。

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+12y=56 減去 4x-y=4。

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+y=56-4$$

將 12y 加到 y。

$$13y=56-4$$

將 56 加到 -4。

$$13y=52$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=4$$

在 4x-y=4 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-4=4$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$4x=8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=4$$