解 x, y
x=10
y=20
圖表
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x+2y=50,2x+y=40
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+2y=50
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-2y+50
從方程式兩邊減去 2y。
2\left(-2y+50\right)+y=40
在另一個方程式 2x+y=40 中以 -2y+50 代入 x在方程式。
-4y+100+y=40
2 乘上 -2y+50。
-3y+100=40
將 -4y 加到 y。
-3y=-60
從方程式兩邊減去 100。
y=20
將兩邊同時除以 -3。
x=-2\times 20+50
在 x=-2y+50 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-40+50
-2 乘上 20。
x=10
將 50 加到 -40。
x=10,y=20
現已成功解出系統。
x+2y=50,2x+y=40
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 50+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{2}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
計算。
x=10,y=20
解出矩陣元素 x 和 y。
x+2y=50,2x+y=40
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x+2\times 2y=2\times 50,2x+y=40
讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
2x+4y=100,2x+y=40
化簡。
2x-2x+4y-y=100-40
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 2x+4y=100 減去 2x+y=40。
4y-y=100-40
將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
3y=100-40
將 4y 加到 -y。
3y=60
將 100 加到 -40。
y=20
將兩邊同時除以 3。
2x+20=40
在 2x+y=40 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
2x=20
從方程式兩邊減去 20。
x=10
將兩邊同時除以 2。
x=10,y=20
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}