解決{c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-5$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+6y=-10$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$8x=-6y-10$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -6y-10。

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 -8x-5y=15 中以 \frac{-3y-5}{4} 代入 x在方程式。

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

-8 乘上 \frac{-3y-5}{4}。

$$6y+10-5y=15$$

將 6y 加到 -5y。

$$y+10=15$$

從方程式兩邊減去 10。

$$y=5$$

在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 5。

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

將 -\frac{5}{4} 與 -\frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

讓 8x 和 -8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

化簡。

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -64x-48y=80 減去 -64x-40y=120。

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

將 -64x 加到 64x。 -64x 和 64x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-48y+40y=80-120$$

將 -48y 加到 40y。

$$-8y=80-120$$

將 80 加到 -120。

$$-8y=-40$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=5$$

在 -8x-5y=15 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-8x-5\times 5=15$$

-5 乘上 5。

$$-8x-25=15$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$-8x=40$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=5$$