解決{c}{7x+5y=54}{3x+4y=38} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+5y=54$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$7x=-5y+54$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -5y+54。

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

在另一個方程式 3x+4y=38 中以 \frac{-5y+54}{7} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

3 乘上 \frac{-5y+54}{7}。

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

將 -\frac{15y}{7} 加到 4y。

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

從方程式兩邊減去 \frac{162}{7}。

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=8$$

在 x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7} 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

-\frac{5}{7} 乘上 8。

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

將 \frac{54}{7} 與 -\frac{40}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

讓 7x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

化簡。

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21x+15y=162 減去 21x+28y=266。

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

將 21x 加到 -21x。 21x 和 -21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y-28y=162-266$$

將 15y 加到 -28y。

$$-13y=162-266$$

將 162 加到 -266。

$$-13y=-104$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=8$$

在 3x+4y=38 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\times 8=38$$

4 乘上 8。

$$3x+32=38$$

從方程式兩邊減去 32。

$$3x=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=8$$