解決{c}{6x-2y=5}{3x-2y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-2y=5$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$6x=2y+5$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 2y+5。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}$$

在另一個方程式 3x-2y=2 中以 \frac{y}{3}+\frac{5}{6} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}\right)-2y=2$$

3 乘上 \frac{y}{3}+\frac{5}{6}。

$$y+\frac{5}{2}-2y=2$$

將 y 加到 -2y。

$$-y+\frac{5}{2}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$-y=-\frac{1}{2}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6} 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{6}$$

\frac{1}{3} 乘上 \frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1+5}{6}$$

將 \frac{5}{6} 與 \frac{1}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{6}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{2}\times 5-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-2y=5 減去 3x-2y=2。

$$6x-3x-2y+2y=5-2$$

將 -2y 加到 2y。 -2y 和 2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6x-3x=5-2$$

將 6x 加到 -3x。

$$3x=5-2$$

將 5 加到 -2。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

在 3x-2y=2 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3-2y=2$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-2y=-1$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$