解決{c}{40x+60y=480}{30x+15y=180} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$40x+60y=480$$

從方程式兩邊減去 60y。

$$40x=-60y+480$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40} 乘上 -60y+480。

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

在另一個方程式 30x+15y=180 中以 -\frac{3y}{2}+12 代入 x在方程式。

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30 乘上 -\frac{3y}{2}+12。

$$-45y+360+15y=180$$

將 -45y 加到 15y。

$$-30y+360=180$$

從方程式兩邊減去 360。

$$-30y=-180$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=6$$

在 x=-\frac{3}{2}y+12 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2} 乘上 6。

$$x=-9+12$$

將 12 加到 -9。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

讓 40x 和 30x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 30，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 40。

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

化簡。

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 1200x+1800y=14400 減去 1200x+600y=7200。

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

將 1200x 加到 -1200x。 1200x 和 -1200x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$1800y-600y=14400-7200$$

將 1800y 加到 -600y。

$$1200y=14400-7200$$

將 14400 加到 -7200。

$$1200y=7200$$

將兩邊同時除以 1200。

$$y=6$$

在 30x+15y=180 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$30x+15\times 6=180$$

15 乘上 6。

$$30x+90=180$$

從方程式兩邊減去 90。

$$30x=90$$

將兩邊同時除以 30。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=6$$