解決{c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+4。

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

在另一個方程式 -12x+2y=-3 中以 \frac{y}{4}+1 代入 x在方程式。

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

-12 乘上 \frac{y}{4}+1。

$$-3y-12+2y=-3$$

將 -3y 加到 2y。

$$-y-12=-3$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$-y=9$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-9$$

在 x=\frac{1}{4}y+1 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

\frac{1}{4} 乘上 -9。

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

將 1 加到 -\frac{9}{4}。

$$x=-\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

讓 4x 和 -12x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

化簡。

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -48x+12y=-48 減去 -48x+8y=-12。

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

將 -48x 加到 48x。 -48x 和 48x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-8y=-48+12$$

將 12y 加到 -8y。

$$4y=-48+12$$

將 -48 加到 12。

$$4y=-36$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-9$$

在 -12x+2y=-3 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

2 乘上 -9。

$$-12x-18=-3$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$-12x=15$$

將兩邊同時除以 -12。

$$x=-\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$