解決{c}{4x+5y=6}{x+7y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+5y=6$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$4x=-5y+6$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -5y+6。

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 x+7y=3 中以 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

將 -\frac{5y}{4} 加到 7y。

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{6}{23}$$

在 x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2} 中以 \frac{6}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{4} 乘上 \frac{6}{23} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 -\frac{15}{46} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{27}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

化簡。

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+5y=6 減去 4x+28y=12。

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-28y=6-12$$

將 5y 加到 -28y。

$$-23y=6-12$$

將 6 加到 -12。

$$-23y=-6$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=\frac{6}{23}$$

在 x+7y=3 中以 \frac{6}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

7 乘上 \frac{6}{23}。

$$x+\frac{42}{23}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{42}{23}。

$$x=\frac{27}{23}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$