解決{c}{4x+3y=13}{x+3y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+3y=13$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$4x=-3y+13$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -3y+13。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

在另一個方程式 x+3y=10 中以 \frac{-3y+13}{4} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 3y。

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{13}{4}。

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 3。

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

將 \frac{13}{4} 與 -\frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+3y=13 減去 x+3y=10。

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-x=13-10$$

將 4x 加到 -x。

$$3x=13-10$$

將 13 加到 -10。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

在 x+3y=10 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$1+3y=10$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3y=9$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$