解決{c}{4x+2y=50}{x+y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=15$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+2y=50,x+y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+2y=50$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$4x=-2y+50$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -2y+50。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

在另一個方程式 x+y=20 中以 \frac{-y+25}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

將 -\frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

從方程式兩邊減去 \frac{25}{2}。

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=15$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2} 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 15。

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

將 \frac{25}{2} 與 -\frac{15}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=15$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+2y=50,x+y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=15$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+2y=50,x+y=20$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

化簡。

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+2y=50 減去 4x+4y=80。

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-4y=50-80$$

將 2y 加到 -4y。

$$-2y=50-80$$

將 50 加到 -80。

$$-2y=-30$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=15$$

在 x+y=20 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+15=20$$

從方程式兩邊減去 15。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=15$$