解決{c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3.9x+y=359.7$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3.9x=-y+359.7$$

對方程式的兩邊同時除以 3.9，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

\frac{10}{39} 乘上 -y+359.7。

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

在另一個方程式 -1.8x-y=-131 中以 -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} 代入 x在方程式。

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

-1.8 乘上 -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}。

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

將 \frac{6y}{13} 加到 -y。

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

將 \frac{10791}{65} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{13}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{2276}{35}$$

在 x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} 中以 -\frac{2276}{35} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

-\frac{10}{39} 乘上 -\frac{2276}{35} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

將 \frac{1199}{13} 與 \frac{4552}{273} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{2287}{21}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

讓 \frac{39x}{10} 和 -\frac{9x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1.8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3.9。

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

化簡。

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -7.02x-1.8y=-647.46 減去 -7.02x-3.9y=-510.9。

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

將 -\frac{351x}{50} 加到 \frac{351x}{50}。 -\frac{351x}{50} 和 \frac{351x}{50} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

將 -\frac{9y}{5} 加到 \frac{39y}{10}。

$$2.1y=-647.46+510.9$$

將 -647.46 與 510.9 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$2.1y=-136.56$$

對方程式的兩邊同時除以 2.1，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{2276}{35}$$

在 -1.8x-y=-131 中以 -\frac{2276}{35} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

從方程式兩邊減去 \frac{2276}{35}。

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

對方程式的兩邊同時除以 -1.8，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{2287}{21}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$