解決{c}{3x+y=60}{x+y=40} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=30$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=60,x+y=40$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=60$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+60$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+60。

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

在另一個方程式 x+y=40 中以 -\frac{y}{3}+20 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

將 -\frac{y}{3} 加到 y。

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

從方程式兩邊減去 20。

$$\frac{2}{3}y=20$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=30$$

在 x=-\frac{1}{3}y+20 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

-\frac{1}{3} 乘上 30。

$$x=-10+20$$

將 20 加到 -10。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=30$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=60,x+y=40$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=30$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=60,x+y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+y=60 減去 x+y=40。

$$3x-x+y-y=60-40$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-x=60-40$$

將 3x 加到 -x。

$$2x=60-40$$

將 60 加到 -40。

$$2x=20$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=10$$

在 x+y=40 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$10+y=40$$

從方程式兩邊減去 10。

$$y=30$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=30$$