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解 x、y
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3x+y=5,-2x+2y=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+y=5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-y+5
從方程式兩邊減去 y。
x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}
\frac{1}{3} 乘上 -y+5。
-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7
在另一個方程式 -2x+2y=7 中以 \frac{-y+5}{3} 代入 x在方程式。
\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7
-2 乘上 \frac{-y+5}{3}。
\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7
將 \frac{2y}{3} 加到 2y。
\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}
將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。
y=\frac{31}{8}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}
在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} 中以 \frac{31}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}
-\frac{1}{3} 乘上 \frac{31}{8} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=\frac{3}{8}
將 \frac{5}{3} 與 -\frac{31}{24} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}
現已成功解出系統。
3x+y=5,-2x+2y=7
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+y=5,-2x+2y=7
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7
讓 3x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
-6x-2y=-10,-6x+6y=21
化簡。
-6x+6x-2y-6y=-10-21
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 -6x-2y=-10 減去 -6x+6y=21。
-2y-6y=-10-21
將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-8y=-10-21
將 -2y 加到 -6y。
-8y=-31
將 -10 加到 -21。
y=\frac{31}{8}
將兩邊同時除以 -8。
-2x+2\times \frac{31}{8}=7
在 -2x+2y=7 中以 \frac{31}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-2x+\frac{31}{4}=7
2 乘上 \frac{31}{8}。
-2x=-\frac{3}{4}
從方程式兩邊減去 \frac{31}{4}。
x=\frac{3}{8}
將兩邊同時除以 -2。
x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}
現已成功解出系統。