解決{c}{3x+y=5}{-2x+2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 -2x+2y=7 中以 \frac{-y+5}{3} 代入 x在方程式。

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

-2 乘上 \frac{-y+5}{3}。

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

將 \frac{2y}{3} 加到 2y。

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{31}{8}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} 中以 \frac{31}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{31}{8} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{31}{24} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{3}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

讓 3x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

化簡。

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x-2y=-10 減去 -6x+6y=21。

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-6y=-10-21$$

將 -2y 加到 -6y。

$$-8y=-10-21$$

將 -10 加到 -21。

$$-8y=-31$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=\frac{31}{8}$$

在 -2x+2y=7 中以 \frac{31}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

2 乘上 \frac{31}{8}。

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{31}{4}。

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{3}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$