解決{c}{3x+2y=32}{365x+226y=265.6} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

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3x+2y=32,365x+226y=265.6

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3x+2y=32

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

3x=-2y+32

從方程式兩邊減去 2y。

x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)

將兩邊同時除以 3。

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}

\frac{1}{3} 乘上 -2y+32。

365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=265.6

在另一個方程式 365x+226y=265.6 中以 \frac{-2y+32}{3} 代入 x在方程式。

-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=265.6

365 乘上 \frac{-2y+32}{3}。

-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=265.6

將 -\frac{730y}{3} 加到 226y。

-\frac{52}{3}y=-\frac{54416}{15}

從方程式兩邊減去 \frac{11680}{3}。

y=\frac{13604}{65}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{52}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{2}{3}\times \frac{13604}{65}+\frac{32}{3}

在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} 中以 \frac{13604}{65} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{27208}{195}+\frac{32}{3}

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{13604}{65} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=-\frac{8376}{65}

將 \frac{32}{3} 與 -\frac{27208}{195} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}

現已成功解出系統。

3x+2y=32,365x+226y=265.6

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\265.6\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 265.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 265.6\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8376}{65}\\\frac{13604}{65}\end{matrix}\right)

計算。

x=-\frac{8376}{65},y=\frac{13604}{65}

解出矩陣元素 x 和 y。

3x+2y=32,365x+226y=265.6

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 265.6

讓 3x 和 365x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 365，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

1095x+730y=11680,1095x+678y=796.8

化簡。

1095x-1095x+730y-678y=11680-796.8