解決{c}{3a=c+4+a/2}{a=c} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

解 a、c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6a=2c+8+a$$

從兩邊減去 2c。

$$6a-2c=8+a$$

從兩邊減去 a。

$$6a-2c-a=8$$

合併 6a 和 -a 以取得 5a。

$$5a-2c=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 c。

$$a-c=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5a-2c=8,a-c=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$5a-2c=8$$

將 2c 加到方程式的兩邊。

$$5a=2c+8$$

將兩邊同時除以 5。

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 8+2c。

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

在另一個方程式 a-c=0 中以 \frac{8+2c}{5} 代入 a在方程式。

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

將 \frac{2c}{5} 加到 -c。

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{5}。

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$c=\frac{8}{3}$$

在 a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5} 中以 \frac{8}{3} 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 \frac{8}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

將 \frac{8}{5} 與 \frac{16}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6a=2c+8+a$$

從兩邊減去 2c。

$$6a-2c=8+a$$

從兩邊減去 a。

$$6a-2c-a=8$$

合併 6a 和 -a 以取得 5a。

$$5a-2c=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 c。

$$a-c=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5a-2c=8,a-c=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 c。

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6a=2c+8+a$$

從兩邊減去 2c。

$$6a-2c=8+a$$

從兩邊減去 a。

$$6a-2c-a=8$$

合併 6a 和 -a 以取得 5a。

$$5a-2c=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 c。

$$a-c=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5a-2c=8,a-c=0$$

讓 5a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

化簡。

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5a-2c=8 減去 5a-5c=0。

$$5a-5a-2c+5c=8$$

將 5a 加到 -5a。 5a 和 -5a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2c+5c=8$$

將 -2c 加到 5c。

$$3c=8$$

將兩邊同時除以 3。

$$c=\frac{8}{3}$$

在 a-c=0 中以 \frac{8}{3} 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-\frac{8}{3}=0$$

將 \frac{8}{3} 加到方程式的兩邊。

$$a=\frac{8}{3}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$