解決{c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

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2.7x+3.1y=42.5,x+y=15

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2.7x+3.1y=42.5

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2.7x=-3.1y+42.5

從方程式兩邊減去 \frac{31y}{10}。

x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)

對方程式的兩邊同時除以 2.7，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}

\frac{10}{27} 乘上 -\frac{31y}{10}+42.5。

-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15

在另一個方程式 x+y=15 中以 \frac{-31y+425}{27} 代入 x在方程式。

-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15

將 -\frac{31y}{27} 加到 y。

-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}

從方程式兩邊減去 \frac{425}{27}。

y=5

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{27}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}

在 x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-155+425}{27}

-\frac{31}{27} 乘上 5。

x=10

將 \frac{425}{27} 與 -\frac{155}{27} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=10,y=5

現已成功解出系統。

2.7x+3.1y=42.5,x+y=15

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

計算。

x=10,y=5

解出矩陣元素 x 和 y。

2.7x+3.1y=42.5,x+y=15

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15

讓 \frac{27x}{10} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2.7。

2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5