解決{c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=3$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+3$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+3。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 -2x-4y=-1 中以 \frac{-y+3}{2} 代入 x在方程式。

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

-2 乘上 \frac{-y+3}{2}。

$$y-3-4y=-1$$

將 y 加到 -4y。

$$-3y-3=-1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-3y=2$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-\frac{2}{3}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 -\frac{2}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -\frac{2}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{11}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

化簡。

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-2y=-6 減去 -4x-8y=-2。

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+8y=-6+2$$

將 -2y 加到 8y。

$$6y=-6+2$$

將 -6 加到 2。

$$6y=-4$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-\frac{2}{3}$$

在 -2x-4y=-1 中以 -\frac{2}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

-4 乘上 -\frac{2}{3}。

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{11}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$