解決{c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+9y=-7$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$2x=-9y-7$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -9y-7。

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 6x-3y=9 中以 \frac{-9y-7}{2} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

6 乘上 \frac{-9y-7}{2}。

$$-27y-21-3y=9$$

將 -27y 加到 -3y。

$$-30y-21=9$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$-30y=30$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

-\frac{9}{2} 乘上 -1。

$$x=\frac{9-7}{2}$$

將 -\frac{7}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

讓 2x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

化簡。

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+54y=-42 減去 12x-6y=18。

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$54y+6y=-42-18$$

將 54y 加到 6y。

$$60y=-42-18$$

將 -42 加到 -18。

$$60y=-60$$

將兩邊同時除以 60。

$$y=-1$$

在 6x-3y=9 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

-3 乘上 -1。

$$6x+3=9$$

從方程式兩邊減去 3。

$$6x=6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$