解決{c}{2x+7y=77}{x-2y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+7y=77$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$2x=-7y+77$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -7y+77。

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

在另一個方程式 x-2y=2 中以 \frac{-7y+77}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 -2y。

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{77}{2}。

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{73}{11}$$

在 x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2} 中以 \frac{73}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

-\frac{7}{2} 乘上 \frac{73}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

將 \frac{77}{2} 與 -\frac{511}{22} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{168}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

化簡。

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+7y=77 減去 2x-4y=4。

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y+4y=77-4$$

將 7y 加到 4y。

$$11y=77-4$$

將 77 加到 -4。

$$11y=73$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=\frac{73}{11}$$

在 x-2y=2 中以 \frac{73}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

-2 乘上 \frac{73}{11}。

$$x-\frac{146}{11}=2$$

將 \frac{146}{11} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{168}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$