解決{c}{2x+6y=7}{x-y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+6y=7,x-y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+6y=7$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$2x=-6y+7$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -6y+7。

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 x-y=4 中以 -3y+\frac{7}{2} 代入 x在方程式。

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

將 -3y 加到 -y。

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{2}。

$$-4y=\frac{1}{2}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-\frac{1}{8}$$

在 x=-3y+\frac{7}{2} 中以 -\frac{1}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

-3 乘上 -\frac{1}{8}。

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

將 \frac{7}{2} 與 \frac{3}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{31}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+6y=7,x-y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+6y=7,x-y=4$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

化簡。

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+6y=7 減去 2x-2y=8。

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+2y=7-8$$

將 6y 加到 2y。

$$8y=7-8$$

將 7 加到 -8。

$$8y=-1$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-\frac{1}{8}$$

在 x-y=4 中以 -\frac{1}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{8}。

$$x=\frac{31}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$