解決{c}{2x+3y=24}{2x+2y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 24 } \\ { 2 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=24,2x+2y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=24$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+24$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+24。

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

在另一個方程式 2x+2y=20 中以 -\frac{3y}{2}+12 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+2y=20$$

2 乘上 -\frac{3y}{2}+12。

$$-3y+24+2y=20$$

將 -3y 加到 2y。

$$-y+24=20$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-y=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=4$$

在 x=-\frac{3}{2}y+12 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+12$$

-\frac{3}{2} 乘上 4。

$$x=-6+12$$

將 12 加到 -6。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=24,2x+2y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 2-3\times 2}&\frac{2}{2\times 2-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+\frac{3}{2}\times 20\\24-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=24,2x+2y=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+3y=24 減去 2x+2y=20。

$$2x-2x+3y-2y=24-20$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-2y=24-20$$

將 3y 加到 -2y。

$$y=24-20$$

將 24 加到 -20。

$$y=4$$

在 2x+2y=20 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+2\times 4=20$$

2 乘上 4。

$$2x+8=20$$

從方程式兩邊減去 8。

$$2x=12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=4$$