解決{c}{2x+3y=1}{-3x-5y=-12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { - 3 x - 5 y = - 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-31$$

$$y=21$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=1,-3x-5y=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=1$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+1。

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 -3x-5y=-12 中以 \frac{-3y+1}{2} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-5y=-12$$

-3 乘上 \frac{-3y+1}{2}。

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-5y=-12$$

將 \frac{9y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-12$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{21}{2}$$

將兩邊同時乘上 -2。

$$y=21$$

在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times 21+\frac{1}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 21。

$$x=\frac{-63+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 -\frac{63}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-31$$

現已成功解出系統。

$$x=-31,y=21$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=1,-3x-5y=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\left(-5\right)-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+3\left(-12\right)\\-3-2\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-31\\21\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-31,y=21$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=1,-3x-5y=-12$$

讓 2x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3,2\left(-3\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-12\right)$$

化簡。

$$-6x-9y=-3,-6x-10y=-24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x-9y=-3 減去 -6x-10y=-24。

$$-6x+6x-9y+10y=-3+24$$

將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y+10y=-3+24$$

將 -9y 加到 10y。

$$y=-3+24$$

將 -3 加到 24。

$$y=21$$

在 -3x-5y=-12 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-5\times 21=-12$$

-5 乘上 21。

$$-3x-105=-12$$

將 105 加到方程式的兩邊。

$$-3x=93$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-31$$

現已成功解出系統。

$$x=-31,y=21$$