解決{c}{10x+14y=460}{x+y=40} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=25$$

$$y=15$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+14y=460,x+y=40$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+14y=460$$

從方程式兩邊減去 14y。

$$10x=-14y+460$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -14y+460。

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

在另一個方程式 x+y=40 中以 -\frac{7y}{5}+46 代入 x在方程式。

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

將 -\frac{7y}{5} 加到 y。

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

從方程式兩邊減去 46。

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=15$$

在 x=-\frac{7}{5}y+46 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

-\frac{7}{5} 乘上 15。

$$x=-21+46$$

將 46 加到 -21。

$$x=25$$

現已成功解出系統。

$$x=25,y=15$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+14y=460,x+y=40$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=25,y=15$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+14y=460,x+y=40$$

讓 10x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

化簡。

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+14y=460 減去 10x+10y=400。

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y-10y=460-400$$

將 14y 加到 -10y。

$$4y=460-400$$

將 460 加到 -400。

$$4y=60$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=15$$

在 x+y=40 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+15=40$$

從方程式兩邊減去 15。

$$x=25$$

現已成功解出系統。

$$x=25,y=15$$