解決{c}{10a+b=10}{-a+b=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10a+b=10,-a+b=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$10a+b=10$$

從方程式兩邊減去 b。

$$10a=-b+10$$

將兩邊同時除以 10。

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -b+10。

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

在另一個方程式 -a+b=2 中以 -\frac{b}{10}+1 代入 a在方程式。

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

-1 乘上 -\frac{b}{10}+1。

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

將 \frac{b}{10} 加到 b。

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$\frac{11}{10}b=3$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{10}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=\frac{30}{11}$$

在 a=-\frac{1}{10}b+1 中以 \frac{30}{11} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

-\frac{1}{10} 乘上 \frac{30}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

將 1 加到 -\frac{3}{11}。

$$a=\frac{8}{11}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10a+b=10,-a+b=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10a+b=10,-a+b=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10a+b=10 減去 -a+b=2。

$$10a+a+b-b=10-2$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10a+a=10-2$$

將 10a 加到 a。

$$11a=10-2$$

將 10 加到 -2。

$$11a=8$$

將兩邊同時除以 11。

$$a=\frac{8}{11}$$

在 -a+b=2 中以 \frac{8}{11} 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

將 \frac{8}{11} 加到方程式的兩邊。

$$b=\frac{30}{11}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$