解決{c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1) |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+3y=-8$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$-5x=-3y-8$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -3y-8。

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

在另一個方程式 -x-3y=2 中以 \frac{3y+8}{5} 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

-1 乘上 \frac{3y+8}{5}。

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

將 -\frac{3y}{5} 加到 -3y。

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

將 \frac{8}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{18}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{3}{5} 乘上 -1。

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

將 \frac{8}{5} 與 -\frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

讓 -5x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

化簡。

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-3y=8 減去 5x+15y=-10。

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-15y=8+10$$

將 -3y 加到 -15y。

$$-18y=8+10$$

將 8 加到 10。

$$-18y=18$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=-1$$

在 -x-3y=2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

-3 乘上 -1。

$$-x+3=2$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-x=-1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$