解決{c}{-4x+2y=-30}{4x+8y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 4 x + 2 y = - 30 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+2y=-30$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$-4x=-2y-30$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-2y-30\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -2y-30。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

在另一個方程式 4x+8y=20 中以 \frac{15+y}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}\right)+8y=20$$

4 乘上 \frac{15+y}{2}。

$$2y+30+8y=20$$

將 2y 加到 8y。

$$10y+30=20$$

從方程式兩邊減去 30。

$$10y=-10$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{15}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$x=\frac{-1+15}{2}$$

將 \frac{15}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{2}{-4\times 8-2\times 4}\\-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-30\right)+\frac{1}{20}\times 20\\\frac{1}{10}\left(-30\right)+\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

讓 -4x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$4\left(-4\right)x+4\times 2y=4\left(-30\right),-4\times 4x-4\times 8y=-4\times 20$$

化簡。

$$-16x+8y=-120,-16x-32y=-80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x+8y=-120 減去 -16x-32y=-80。

$$-16x+16x+8y+32y=-120+80$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+32y=-120+80$$

將 8y 加到 32y。

$$40y=-120+80$$

將 -120 加到 80。

$$40y=-40$$

將兩邊同時除以 40。

$$y=-1$$

在 4x+8y=20 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+8\left(-1\right)=20$$

8 乘上 -1。

$$4x-8=20$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$4x=28$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=-1$$