解決{c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+5y=2$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-3x=-5y+2$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -5y+2。

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 x+10y=-24 中以 \frac{5y-2}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

將 \frac{5y}{3} 加到 10y。

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{35}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 -2。

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

將 -\frac{2}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

讓 -3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

化簡。

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+5y=2 減去 -3x-30y=72。

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y+30y=2-72$$

將 5y 加到 30y。

$$35y=2-72$$

將 2 加到 -72。

$$35y=-70$$

將兩邊同時除以 35。

$$y=-2$$

在 x+10y=-24 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

10 乘上 -2。

$$x-20=-24$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$