解決{c}{-3(6-y-z)-y+2z=12}{6-y-z-y-3z=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 ( 6 - y - z ) - y + 2 z = 12 } \\ { 6 - y - z - y - 3 z = - 4 } \end{array} \right.$$

解 y、z

$$y=-35$$

$$z=20$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -3 乘上 6-y-z 時使用乘法分配律。

$$-18+3y+3z-y+2z=12$$

合併 3y 和 -y 以取得 2y。

$$-18+2y+3z+2z=12$$

合併 3z 和 2z 以取得 5z。

$$-18+2y+5z=12$$

新增 18 至兩側。

$$2y+5z=12+18$$

將 12 與 18 相加可以得到 30。

$$2y+5z=30$$

考慮第二個方程式。 合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$6-2y-z-3z=-4$$

合併 -z 和 -3z 以取得 -4z。

$$6-2y-4z=-4$$

從兩邊減去 6。

$$-2y-4z=-4-6$$

從 -4 減去 6 會得到 -10。

$$-2y-4z=-10$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2y+5z=30,-2y-4z=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$2y+5z=30$$

從方程式兩邊減去 5z。

$$2y=-5z+30$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{1}{2}\left(-5z+30\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5z+30。

$$y=-\frac{5}{2}z+15$$

在另一個方程式 -2y-4z=-10 中以 -\frac{5z}{2}+15 代入 y在方程式。

$$-2\left(-\frac{5}{2}z+15\right)-4z=-10$$

-2 乘上 -\frac{5z}{2}+15。

$$5z-30-4z=-10$$

將 5z 加到 -4z。

$$z-30=-10$$

將 30 加到方程式的兩邊。

$$z=20$$

在 y=-\frac{5}{2}z+15 中以 20 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{5}{2}\times 20+15$$

-\frac{5}{2} 乘上 20。

$$y=-50+15$$

將 15 加到 -50。

$$y=-35$$

現已成功解出系統。

$$y=-35,z=20$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -3 乘上 6-y-z 時使用乘法分配律。

$$-18+3y+3z-y+2z=12$$

合併 3y 和 -y 以取得 2y。

$$-18+2y+3z+2z=12$$

合併 3z 和 2z 以取得 5z。

$$-18+2y+5z=12$$

新增 18 至兩側。

$$2y+5z=12+18$$

將 12 與 18 相加可以得到 30。

$$2y+5z=30$$

考慮第二個方程式。 合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$6-2y-z-3z=-4$$

合併 -z 和 -3z 以取得 -4z。

$$6-2y-4z=-4$$

從兩邊減去 6。

$$-2y-4z=-4-6$$

從 -4 減去 6 會得到 -10。

$$-2y-4z=-10$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2y+5z=30,-2y-4z=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2\left(-4\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-\frac{5}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 30-\frac{5}{2}\left(-10\right)\\30-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\20\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 z。

$$y=-35,z=20$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 -3 乘上 6-y-z 時使用乘法分配律。

$$-18+3y+3z-y+2z=12$$

合併 3y 和 -y 以取得 2y。

$$-18+2y+3z+2z=12$$

合併 3z 和 2z 以取得 5z。

$$-18+2y+5z=12$$

新增 18 至兩側。

$$2y+5z=12+18$$

將 12 與 18 相加可以得到 30。

$$2y+5z=30$$

考慮第二個方程式。 合併 -y 和 -y 以取得 -2y。

$$6-2y-z-3z=-4$$

合併 -z 和 -3z 以取得 -4z。

$$6-2y-4z=-4$$

從兩邊減去 6。

$$-2y-4z=-4-6$$

從 -4 減去 6 會得到 -10。

$$-2y-4z=-10$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2y+5z=30,-2y-4z=-10$$

讓 2y 和 -2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2y-2\times 5z=-2\times 30,2\left(-2\right)y+2\left(-4\right)z=2\left(-10\right)$$

化簡。

$$-4y-10z=-60,-4y-8z=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4y-10z=-60 減去 -4y-8z=-20。

$$-4y+4y-10z+8z=-60+20$$

將 -4y 加到 4y。 -4y 和 4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10z+8z=-60+20$$

將 -10z 加到 8z。

$$-2z=-60+20$$

將 -60 加到 20。

$$-2z=-40$$

將兩邊同時除以 -2。

$$z=20$$

在 -2y-4z=-10 中以 20 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-2y-4\times 20=-10$$

-4 乘上 20。

$$-2y-80=-10$$

將 80 加到方程式的兩邊。

$$-2y=70$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-35$$

現已成功解出系統。

$$y=-35,z=20$$