解決{c}{-2x+9y=8}{x-2y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=14$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+9y=8$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$-2x=-9y+8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -9y+8。

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

在另一個方程式 x-2y=6 中以 \frac{9y}{2}-4 代入 x在方程式。

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

將 \frac{9y}{2} 加到 -2y。

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{2}y=10$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{9}{2}y-4 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

\frac{9}{2} 乘上 4。

$$x=18-4$$

將 -4 加到 18。

$$x=14$$

現已成功解出系統。

$$x=14,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=14,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

讓 -2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

化簡。

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+9y=8 減去 -2x+4y=-12。

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-4y=8+12$$

將 9y 加到 -4y。

$$5y=8+12$$

將 8 加到 12。

$$5y=20$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=4$$

在 x-2y=6 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2\times 4=6$$

-2 乘上 4。

$$x-8=6$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$x=14$$

現已成功解出系統。

$$x=14,y=4$$