解決{c}{-13x-20y=-117}{14x-4y=-126} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 13 x - 20 y = - 117 } \\ { 14 x - 4 y = - 126 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{513}{83} = -6\frac{15}{83} \approx -6.180722892$$

$$y = \frac{819}{83} = 9\frac{72}{83} \approx 9.86746988$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-13x-20y=-117,14x-4y=-126$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-13x-20y=-117$$

將 20y 加到方程式的兩邊。

$$-13x=20y-117$$

將兩邊同時除以 -13。

$$x=-\frac{1}{13}\left(20y-117\right)$$

-\frac{1}{13} 乘上 20y-117。

$$x=-\frac{20}{13}y+9$$

在另一個方程式 14x-4y=-126 中以 -\frac{20y}{13}+9 代入 x在方程式。

$$14\left(-\frac{20}{13}y+9\right)-4y=-126$$

14 乘上 -\frac{20y}{13}+9。

$$-\frac{280}{13}y+126-4y=-126$$

將 -\frac{280y}{13} 加到 -4y。

$$-\frac{332}{13}y+126=-126$$

從方程式兩邊減去 126。

$$-\frac{332}{13}y=-252$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{332}{13}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{819}{83}$$

在 x=-\frac{20}{13}y+9 中以 \frac{819}{83} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{20}{13}\times \frac{819}{83}+9$$

-\frac{20}{13} 乘上 \frac{819}{83} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1260}{83}+9$$

將 9 加到 -\frac{1260}{83}。

$$x=-\frac{513}{83}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{513}{83},y=\frac{819}{83}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-13x-20y=-117,14x-4y=-126$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&-20\\14&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-13\left(-4\right)-\left(-20\times 14\right)}&-\frac{-20}{-13\left(-4\right)-\left(-20\times 14\right)}\\-\frac{14}{-13\left(-4\right)-\left(-20\times 14\right)}&-\frac{13}{-13\left(-4\right)-\left(-20\times 14\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{83}&\frac{5}{83}\\-\frac{7}{166}&-\frac{13}{332}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-117\\-126\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{83}\left(-117\right)+\frac{5}{83}\left(-126\right)\\-\frac{7}{166}\left(-117\right)-\frac{13}{332}\left(-126\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{513}{83}\\\frac{819}{83}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{513}{83},y=\frac{819}{83}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-13x-20y=-117,14x-4y=-126$$

讓 -13x 和 14x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 14，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -13。

$$14\left(-13\right)x+14\left(-20\right)y=14\left(-117\right),-13\times 14x-13\left(-4\right)y=-13\left(-126\right)$$

化簡。

$$-182x-280y=-1638,-182x+52y=1638$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -182x-280y=-1638 減去 -182x+52y=1638。

$$-182x+182x-280y-52y=-1638-1638$$

將 -182x 加到 182x。 -182x 和 182x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-280y-52y=-1638-1638$$

將 -280y 加到 -52y。

$$-332y=-1638-1638$$

將 -1638 加到 -1638。

$$-332y=-3276$$

將兩邊同時除以 -332。

$$y=\frac{819}{83}$$

在 14x-4y=-126 中以 \frac{819}{83} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$14x-4\times \frac{819}{83}=-126$$

-4 乘上 \frac{819}{83}。

$$14x-\frac{3276}{83}=-126$$

將 \frac{3276}{83} 加到方程式的兩邊。

$$14x=-\frac{7182}{83}$$

將兩邊同時除以 14。

$$x=-\frac{513}{83}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{513}{83},y=\frac{819}{83}$$