Solve {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

從方程式兩邊減去 b。

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

\frac{2}{3} 乘上 -b+1。

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 a+\frac{1}{2}b=7 中以 \frac{-2b+2}{3} 代入 a在方程式。

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

將 -\frac{2b}{3} 加到 \frac{b}{2}。

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{3}。

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

將兩邊同時乘上 -6。

$$b=-38$$

在 a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} 中以 -38 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

-\frac{2}{3} 乘上 -38。

$$a=\frac{76+2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{76}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=26$$

現已成功解出系統。

$$a=26,b=-38$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=26,b=-38$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

讓 \frac{3a}{2} 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{3}{2}。

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

化簡。

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{3}{2}a+b=1 減去 \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}。

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

將 \frac{3a}{2} 加到 -\frac{3a}{2}。 \frac{3a}{2} 和 -\frac{3a}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

將 b 加到 -\frac{3b}{4}。

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

將 1 加到 -\frac{21}{2}。

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

將兩邊同時乘上 4。

$$b=-38$$

在 a+\frac{1}{2}b=7 中以 -38 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

\frac{1}{2} 乘上 -38。

$$a-19=7$$

將 19 加到方程式的兩邊。

$$a=26$$

現已成功解出系統。

$$a=26,b=-38$$