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$\estwo{\fraction{3}{2} a + b = 1}{a + \fraction{b}{2} = 7} $
解 a, b
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\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{3}{2}a+b=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。
\frac{3}{2}a=-b+1
從方程式兩邊減去 b。
a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}
\frac{2}{3} 乘上 -b+1。
-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7
在另一個方程式 a+\frac{1}{2}b=7 中以 \frac{-2b+2}{3} 代入 a在方程式。
-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7
將 -\frac{2b}{3} 加到 \frac{b}{2}。
-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{2}{3}。
b=-38
將兩邊同時乘上 -6。
a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}
在 a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} 中以 -38 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 a。
a=\frac{76+2}{3}
-\frac{2}{3} 乘上 -38。
a=26
將 \frac{2}{3} 與 \frac{76}{3} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
a=26,b=-38
現已成功解出系統。
\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)
計算。
a=26,b=-38
解出矩陣元素 a 和 b。
\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)b=\frac{3}{2}\times 7
讓 \frac{3a}{2} 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{3}{2}。
\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}
化簡。
\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 \frac{3}{2}a+b=1 減去 \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}。
b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}
將 \frac{3a}{2} 加到 -\frac{3a}{2}。 \frac{3a}{2} 和 -\frac{3a}{2} 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}
將 b 加到 -\frac{3b}{4}。
\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}
將 1 加到 -\frac{21}{2}。
b=-38
將兩邊同時乘上 4。
a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7
在 a+\frac{1}{2}b=7 中以 -38 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 a。
a-19=7
\frac{1}{2} 乘上 -38。
a=26
將 19 加到方程式的兩邊。
a=26,b=-38
現已成功解出系統。