解決{c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=2$$

$$b=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

從方程式兩邊減去 b。

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

將兩邊同時乘上 2。

$$a=2\left(-b-2\right)$$

2 乘上 -b-2。

$$a=-2b-4$$

在另一個方程式 a-2b=8 中以 -2b-4 代入 a在方程式。

$$-2b-4-2b=8$$

將 -2b 加到 -2b。

$$-4b-4=8$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-4b=12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=-3$$

在 a=-2b-4 中以 -3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

-2 乘上 -3。

$$a=6-4$$

將 -4 加到 6。

$$a=2$$

現已成功解出系統。

$$a=2,b=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=2,b=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

讓 \frac{a}{2} 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}。

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

化簡。

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{2}a+b=-2 減去 \frac{1}{2}a-b=4。

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

將 \frac{a}{2} 加到 -\frac{a}{2}。 \frac{a}{2} 和 -\frac{a}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$b+b=-2-4$$

將 b 加到 b。

$$2b=-2-4$$

將 -2 加到 -4。

$$2b=-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$b=-3$$

在 a-2b=8 中以 -3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-2\left(-3\right)=8$$

-2 乘上 -3。

$$a+6=8$$

從方程式兩邊減去 6。

$$a=2$$

現已成功解出系統。

$$a=2,b=-3$$