解決{c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{y}{2}。

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

將兩邊同時乘上 10。

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

10 乘上 -\frac{y}{2}+1。

$$x=-5y+10$$

在另一個方程式 2x-10y=-20 中以 -5y+10 代入 x在方程式。

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

2 乘上 -5y+10。

$$-10y+20-10y=-20$$

將 -10y 加到 -10y。

$$-20y+20=-20$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-20y=-40$$

將兩邊同時除以 -20。

$$y=2$$

在 x=-5y+10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\times 2+10$$

-5 乘上 2。

$$x=-10+10$$

將 10 加到 -10。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

讓 \frac{x}{10} 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{10}。

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

化簡。

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{5}x+y=2 減去 \frac{1}{5}x-y=-2。

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

將 \frac{x}{5} 加到 -\frac{x}{5}。 \frac{x}{5} 和 -\frac{x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+y=2+2$$

將 y 加到 y。

$$2y=2+2$$

將 2 加到 2。

$$2y=4$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=2$$

在 2x-10y=-20 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-10\times 2=-20$$

-10 乘上 2。

$$2x-20=-20$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$2x=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$