解決{l}{x=5y-10}{-x-3y=34} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x = 5 y - 10 }\\{ - x - 3 y = 34 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-25$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=-10$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-5y=-10$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$x=5y-10$$

在另一個方程式 -x-3y=34 中以 -10+5y 代入 x在方程式。

$$-\left(5y-10\right)-3y=34$$

-1 乘上 -10+5y。

$$-5y+10-3y=34$$

將 -5y 加到 -3y。

$$-8y+10=34$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-8y=24$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=-3$$

在 x=5y-10 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5\left(-3\right)-10$$

5 乘上 -3。

$$x=-15-10$$

將 -10 加到 -15。

$$x=-25$$

現已成功解出系統。

$$x=-25,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=-10$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-10\right)-\frac{5}{8}\times 34\\-\frac{1}{8}\left(-10\right)-\frac{1}{8}\times 34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-25,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5y。

$$x-5y=-10$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-5y=-10,-x-3y=34$$

讓 x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-x-\left(-5y\right)=-\left(-10\right),-x-3y=34$$

化簡。

$$-x+5y=10,-x-3y=34$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x+5y=10 減去 -x-3y=34。

$$-x+x+5y+3y=10-34$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y+3y=10-34$$

將 5y 加到 3y。

$$8y=10-34$$

將 10 加到 -34。

$$8y=-24$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-3$$

在 -x-3y=34 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-3\left(-3\right)=34$$

-3 乘上 -3。

$$-x+9=34$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-x=25$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-25$$

現已成功解出系統。

$$x=-25,y=-3$$