解決{l}{4x-y=11}{-2x+3y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x - y = 11 }\\{ - 2 x + 3 y = - 3 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=11$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+11$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+11。

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}$$

在另一個方程式 -2x+3y=-3 中以 \frac{11+y}{4} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-3$$

-2 乘上 \frac{11+y}{4}。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+3y=-3$$

將 -\frac{y}{2} 加到 3y。

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=-3$$

將 \frac{11}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1+11}{4}$$

將 \frac{11}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 11+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 11+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

讓 4x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\times 11,4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\left(-3\right)$$

化簡。

$$-8x+2y=-22,-8x+12y=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+2y=-22 減去 -8x+12y=-12。

$$-8x+8x+2y-12y=-22+12$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-12y=-22+12$$

將 2y 加到 -12y。

$$-10y=-22+12$$

將 -22 加到 12。

$$-10y=-10$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=1$$

在 -2x+3y=-3 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+3=-3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-2x=-6$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$