解決{l}{2(x-y)-3=3x+4yD}{x+y=2(2)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 2 ( x - y ) - 3 = 3 x + 4 y D }\\{ x + y = 2 ( 2 ) }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

$$D\neq -\frac{1}{4}$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y-3=4yD$$

從兩邊減去 4yD。

$$-x-2y-3-4yD=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-x-2y-4yD=3$$

合併所有包含 x,y 的項。

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

考慮第二個方程式。 將 2 乘上 2 得到 4。

$$x+y=4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3$$

從方程式兩邊減去 -2y-4yD。

$$-x=\left(4D+2\right)y+3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(\left(4D+2\right)y+3\right)$$

-1 乘上 2y+4yD+3。

$$x=\left(-4D-2\right)y-3$$

在另一個方程式 x+y=4 中以 -2y-4yD-3 代入 x在方程式。

$$\left(-4D-2\right)y-3+y=4$$

將 -2y-4yD 加到 y。

$$\left(-4D-1\right)y-3=4$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

將兩邊同時除以 -1-4D。

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

在 x=\left(-4D-2\right)y-3 中以 -\frac{7}{1+4D} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-4D-2\right)\left(-\frac{7}{4D+1}\right)-3$$

-2-4D 乘上 -\frac{7}{1+4D}。

$$x=\frac{14\left(2D+1\right)}{4D+1}-3$$

將 -3 加到 \frac{14\left(1+2D\right)}{1+4D}。

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y-3=4yD$$

從兩邊減去 4yD。

$$-x-2y-3-4yD=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-x-2y-4yD=3$$

合併所有包含 x,y 的項。

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

考慮第二個方程式。 將 2 乘上 2 得到 4。

$$x+y=4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-2-4D\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{-4D-2}{-1-\left(-4D-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}&\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\\-\frac{1}{4D+1}&-\frac{1}{4D+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}\times 3+\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 3+\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16D+11}{4D+1}\\-\frac{7}{4D+1}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y-3=4yD$$

從兩邊減去 4yD。

$$-x-2y-3-4yD=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$-x-2y-4yD=3$$

合併所有包含 x,y 的項。

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

考慮第二個方程式。 將 2 乘上 2 得到 4。

$$x+y=4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

讓 -x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,-x-y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x+\left(-4D-2\right)y=3 減去 -x-y=-4。

$$-x+x+\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

將 -2y-4yD 加到 y。

$$\left(-4D-1\right)y=3+4$$

將 3 加到 4。

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

將兩邊同時除以 -1-4D。

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

在 x+y=4 中以 -\frac{7}{1+4D} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\frac{7}{4D+1}=4$$

將 \frac{7}{1+4D} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$