\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.
解 x、y
x=1
y=2
圖表
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4x+3y=10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,6 的最小公倍數。
3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3,15 的最小公倍數。
9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y
計算 3 乘上 3x+20y 時使用乘法分配律。
9x+60y-40y-5=12x+16y
計算 -5 乘上 8y+1 時使用乘法分配律。
9x+20y-5=12x+16y
合併 60y 和 -40y 以取得 20y。
9x+20y-5-12x=16y
從兩邊減去 12x。
-3x+20y-5=16y
合併 9x 和 -12x 以取得 -3x。
-3x+20y-5-16y=0
從兩邊減去 16y。
-3x+4y-5=0
合併 20y 和 -16y 以取得 4y。
-3x+4y=5
新增 5 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
4x+3y=10,-3x+4y=5
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x+3y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=-3y+10
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)
將兩邊同時除以 4。
x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}
\frac{1}{4} 乘上 -3y+10。
-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5
在另一個方程式 -3x+4y=5 中以 -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} 代入 x在方程式。
\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5
-3 乘上 -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}。
\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5
將 \frac{9y}{4} 加到 4y。
\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}
將 \frac{15}{2} 加到方程式的兩邊。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}
在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-3+5}{2}
-\frac{3}{4} 乘上 2。
x=1
將 \frac{5}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=2
現已成功解出系統。
4x+3y=10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,6 的最小公倍數。
3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3,15 的最小公倍數。
9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y
計算 3 乘上 3x+20y 時使用乘法分配律。
9x+60y-40y-5=12x+16y
計算 -5 乘上 8y+1 時使用乘法分配律。
9x+20y-5=12x+16y
合併 60y 和 -40y 以取得 20y。
9x+20y-5-12x=16y
從兩邊減去 12x。
-3x+20y-5=16y
合併 9x 和 -12x 以取得 -3x。
-3x+20y-5-16y=0
從兩邊減去 16y。
-3x+4y-5=0
合併 20y 和 -16y 以取得 4y。
-3x+4y=5
新增 5 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
4x+3y=10,-3x+4y=5
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
4x+3y=10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,6 的最小公倍數。
3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3,15 的最小公倍數。
9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y
計算 3 乘上 3x+20y 時使用乘法分配律。
9x+60y-40y-5=12x+16y
計算 -5 乘上 8y+1 時使用乘法分配律。
9x+20y-5=12x+16y
合併 60y 和 -40y 以取得 20y。
9x+20y-5-12x=16y
從兩邊減去 12x。
-3x+20y-5=16y
合併 9x 和 -12x 以取得 -3x。
-3x+20y-5-16y=0
從兩邊減去 16y。
-3x+4y-5=0
合併 20y 和 -16y 以取得 4y。
-3x+4y=5
新增 5 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
4x+3y=10,-3x+4y=5
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5
讓 4x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
-12x-9y=-30,-12x+16y=20
化簡。
-12x+12x-9y-16y=-30-20
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x-9y=-30 減去 -12x+16y=20。
-9y-16y=-30-20
將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-25y=-30-20
將 -9y 加到 -16y。
-25y=-50
將 -30 加到 -20。
y=2
將兩邊同時除以 -25。
-3x+4\times 2=5
在 -3x+4y=5 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-3x+8=5
4 乘上 2。
-3x=-3
從方程式兩邊減去 8。
x=1
將兩邊同時除以 -3。
x=1,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}